На практике достаточно часто приходится проектировать короткие изгибаемые элементы (балки, плиты, своды и т.п.), в которых отношения высоты (толщины) к пролету h/L £ 1/5. Известно, что напряженно-деформированное состояние данных элементов существенно отличается от традиционных, при этом погрешность расчета пропорциональна отношению h/L [1–2].
Расчет коротких балок с позиций теории упругости рассмотрен в [3]. Приведены расчетные зависимости, учитывающие влияние на напряженно-деформированное состояние материала балки локальных напряжений, возникающих в пределах участка приложения нагрузки, а также напряжений сдвига.
В традиционных методиках расчета железобетонных изгибаемых элементов (в т.ч. в СНБ 5.03.01-02 и [4–7]) не принимаются во внимание следующие факторы: деформации сдвига, наличие локальных напряжений под нагруженными площадками, включение в работу распределительной арматуры, работа на срез продольной арматуры и другие. Так, деформационная расчетная модель СНБ 5.03.01-02 учитывает лишь нелинейный характер деформирования материалов, напряжения же в бетоне и арматуре определяются с использованием классической теории изгиба.
Особенностью конструирования коротких изгибаемых элементов является то, что в них по всей длине наряду с продольной устанавливается поперечная и распределительная арматура, объединяющая плоские каркасы в пространственный. В сечениях таких элементов возникает сложное напряженное состояние, которое не учитывается в расчетах. Расчет данных элементов на прочность и трещиностойкость может быть произведен методом численного моделирования с использованием конечно-элементных расчетных моделей.
В настоящее время на основе данного метода разработано достаточное количество программных комплексов (ЛИРА, СКАД и др.) для статических и динамических расчетов зданий и сооружений. Практически все они базируются на “методе перемещений” и при использовании (дополнительном) диаграмм деформирования материалов эквивалентны применению деформационной модели (аналитической) [8]. Известны примеры применения объемных конечно-элементных моделей при исследований напряженно-деформированного состояния бетона [9, 10].
Таким образом, методики расчета железобетонных элементов с использованием трехмерных конечно-элементных моделей находятся в состоянии развития, и применение их для расчета коротких железобетонных изгибаемых элементов — “дело времени”.
Основные параметры расчетной модели
В расчетной модели использованы следующие типы конечных элементов:
1. Одномерные стержневые элементы, работающие на растяжение и сжатие в осевом направлении, на кручение и изгиб, — в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Порядок матрицы жесткости данных элементов равен 12. Элементы применены для моделирования арматурного каркаса.
2. Трехмерные (объемные) элементы. Каждый их узел имеет три степени свободы. Порядок матрицы жесткости зависит от количества узлов в элементе. Элементы применены для моделирования бетона.
Сопряжение стержневых элементов (моделирующих продольную и поперечную арматуру) в узлах стыка принимают жестким. Стержневые элементы соединяют с объемными без возможности взаимных линейных перемещений. Их материалы (бетон и арматура) имеют нелинейно-упругие свойства, которые задаются в виде диаграмм деформирования (зависимости“s — e”). Внешнюю нагрузку прикладывают в узлах модели. Способ опирания конструкции задают путем ограничения перемещений узлов модели, находящихся в пределах опорной площадки.
Моделирование арматуры стержневыми элементами (с фиксацией их в узлах объемных) несколько искажает реальное взаимодействие бетона и арматуры, что может отразиться на результатах расчета после образования трещин. Однако принятые допущения значительно упрощают расчет. Кроме того, для конструкций с поперечным армированием анкеровка арматуры не является фактором, определяющим несущую способность.
Предложенная расчетная модель учитывает основные факторы, влияющие на процесс трещинообразования. Так, прочностные и деформационные характеристики арматуры и бетона входят в исходные данные, а податливость контактной зоны “бетон-арматура” частично учитывается диаграммой деформирования бетона при растяжении.
Реализацию данной задачи рассмотрим на примере расчета на прочность и трещиностойкость железобетонных полушпал, применяемых для устройства рельсовых путей грузоподъемных кранов [10]. Исходными данными при формировании расчетной модели являются: геометрические размеры полушпалы; конструкция арматурного каркаса; диаграммы деформирования бетона и арматуры; способ опирания и нагружения.
Трещины моделируют “механически” путем удаления на каждой ступени нагружения конечных элементов, моделирующих бетон растянутой зоны, деформации которых превысили предельно допустимые значения. При этом предельную растяжимость бетона необходимо определять с учетом трехосного напряженного состояния материала, например по формуле [3]:
где ex — относительное удлинение бетона растянутой зоны; E — модуль упругости бетона при растяжении (принимается равным 0,5 от начального модуля упругости бетона при сжатии); sx, sy и sz — нормальные напряжения в элементе по осям х, у, z.
Для определения ширины раскрытия трещины может быть использована известная формула [4]:
где es, m и eb, m — средние значения растягивающих относительных деформаций бетона и арматуры; sm — среднее расстояние между трещинами.
Значения es, m, eb, m и sm получают в процессе расчета. На каждой ступени нагружения выполняют анализ и в растянутой зоне бетона находят “цепочки” конечных элементов (как правило, расположенные перпендикулярно продольной оси), деформации которых превысили предельные. Производят удаление данных элементов, выполняют перерасчет без увеличения нагрузки, повторно производят анализ деформаций (по формуле 1) и удаляют новые цепочки элементов растянутого бетона, деформации которых превысили предельные. Расстояния между цепочками удаленных элементов и является искомым sm. Деформации же es, m, eb, m получают из расчета с использованием диаграмм деформирования бетона и арматуры.
Сопоставительный анализ результатов расчета с результатами эксперимента показал, что закрепление стержней в узлах без возможности перемещений наиболее близко соответствует сцеплению с бетоном стержневой арматуры кольцевого периодического профиля. Для случая применения других типов арматуры (гладкой, серповидного периодического профиля, проволоки с вмятинами) значения ширины раскрытия трещин, полученные расчетом, необходимо корректировать в сторону увеличения (например, с учетом соотношения коэффициентов, применяемых при расчете базовой длины анкеровки, по п. 11.2.33 СНБ 5.03.01).
Достижение конструкцией предельного состояния характеризуется следующими критериями:
а) деформации бетона сжатой зоны ec,х достигли предельных:
где — предельная сжимаемость бетона с учетом сложного напряженного состояния;
б) напряжения в растянутой арматуре ss достигли предельных:
где — расчетное сопротивление арматуры.
Представленная расчетная модель в общем случае обладает свойствами геометрической и физической нелинейности. Для получения достоверного решения расчет необходимо проводить в несколько стадий, варьируя способ обновления матрицы жесткости (размер ступени нагружения) до получения требуемой степени сходимости результатов. В качестве критерия сходимости следует использовать: значение приращения узловых перемещений; изменение невязки узловых нагрузок. Укрупненный алгоритм решения задачи представлен на рис. 1.
Необходимо отметить, что при расчете в некоторых случаях наблюдается концентрация напряжений в элементах, моделирующих бетон (в узлах закрепления стержневых элементов и узлах приложения нагрузки). Кроме того, в наиболее нагруженных волокнах сжатой зоны бетона могут возникать напряжения, превышающие его расчетное сопротивление при одноосном сжатии.
Для оценки прочности сжатой зоны бетона рекомендуется использовать критерии прочности бетона при сложном напряженном состоянии (например, приведенный в [11]). При инженерных расчетах средние напряжения в бетоне в пределах опасного сечения допускается сравнивать с предельно допустимым значением для одноосного сжатия. В данном случае будет создан запас прочности. За разрушение конструкции “по арматуре” принимается достижение напряжениями хотя бы в одном из элементов, моделирующих рабочую арматуру, значений, равных расчетному сопротивлению арматуры при растяжении.
Пример расчета
Для иллюстрации применения методики ниже приведены данные по расчету прочности и трещиностойкости одного из образцов железобетонных полушпал (образец ПШ3-2-2), испытанных авторами [10]. Общий вид расчетной модели показан на рис. 2.
Нагрузку (ориентировочно соответствующую предельной) разбиваем на 10 ступеней по 15,0 кН и прикладываем в виде равномерно распределенного давления к граням элементов. Проводим расчет системы в соответствии с алгоритмом (рис. 1) двумя модификациями шагового метода (метод половинного деления и метод линейной итерации) до совпадения значений деформаций и напряжений с точностью до 10%. Характер распределения относительных деформаций бетона и развития трещин в образце на различных ступенях нагружения представлен на рис. 3.
До уровня нагрузки 45,0 кН (1, 2 и 3-я ступени) деформации удлинения в растянутой зоне бетона не достигли предельных значений. Трещины отсутствуют (рис. 3, а). При нагрузке 60 кН (4-я ступень) выполнена корректировка расчетной схемы (удалены элементы моделирующие бетон, деформации которых превысили предельные) и выполнен перерасчет системы с одной нормальной трещиной (рис. 3, б). При нагрузке 90 кН (5-я ступень) получена схема с тремя трещинами (рис. 3, в).
При нагрузке 120 кН (8-я ступень) расчетная ширина раскрытия трещин составила (из выражения 2) wk = 0,191 мм. Шаг трещин sm = 110 мм равен расстоянию между цепочками удаленных элементов.
Значения esm и eb, m получены из выражений:
где ei, s — относительные деформации продольной арматуры в пределах одного элемента; li, s — длина i-го элемента; ei,b и li,b — то же, для элементов, моделирующих бетон.
При нагрузке 135 кН трещины достигли сжатой зоны бетона (рис. 3, г).
Напряжения в арматуре достигли предела текучести, что свидетельствует об исчерпании несущей способности. Средние значения напряжений в бетоне сжатой зоны составили 22,55 МПа при расчетном 30,2 МПа.
Значения нагрузки, соответствующие моменту образования трещин, раскрытию трещин на ширину 0,2 мм и разрушению, полученные экспериментально, соответственно равны 60,0, 99,6 и 108,8 кН.
Анализ напряженно-деформированного состояния конструктивных элементов образца (на каждой ступени нагружения) показал, что в работу образца включается и распределительная арматура. Так, на 11 ступени нагружения напряжения в стержнях распределительной арматуры составили 20…40 МПа.
Следует отметить, что распределение деформаций в растянутом бетоне околоарматурной зоны на участке между трещинами качественно совпадает с известными данными экспериментальных и численных исследований [4]. Так, в бетоне околоарматурной зоны на расстоянии до 20 мм от грани трещины зафиксированы напряжения сжатия.
На основании выполненных исследований можно сделать следующие основные выводы:
1. Традиционные методики расчета железобетонных конструкций на прочность и трещиностойкость (СНиП 2.03.01 и СНБ 5.03.01) применительно к расчету коротких изгибаемых элементов не учитывают их реальное напряженно-деформированное состояние. Для расчета таких конструкций может быть использована трехмерная конечно-элементная расчетная модель, сформированная из объемных элементов, моделирующих бетон, и стержневых элементов, моделирующих арматуру. При этом физическая нелинейность материалов учитывается с помощью диаграмм их деформирования.
2. Оценку прочности конструкций производят по значениям деформаций в бетоне сжатой зоны и напряжений в растянутой арматуре, полученным из расчетной модели.
3. При расчете конструкций на трещиностойкость процесс трещинообразования моделируют путем поэтапной корректировки расчетной модели по мере увеличения нагрузки на конструкцию путем удаления цепочек элементов бетона растянутой зоны, деформации которых превысили предельные. Ширину раскрытия трещин определяют по традиционным методикам, используя значения расстояния между трещинами и относительных деформаций бетона и арматуры, определяемые из расчетной модели.
Литература
1. Новожилов вв., Финкельштейн Р.М. О погрешности гипотез Кирхгофа в теории оболочек // ПММ 7. Вып. 5. М ., 1943. С. 31–56.
2. Доннелл Л.Г. Балки, пластины и оболочки: Пер. с англ. / Под ред. Э.И. Григолюка. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1982. 568 с.
3. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости: Пер. с англ. / Под ред. г.С. Шапиро. 2-е изд. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979. 560 с.
4. Бондаренко в.М. Расчетные модели силового сопротивления железобетона: Монография. М.: Издательство АСВ, 2004. 472 с.
5. Pang X.B., Hsu T.C. Fixed Angle Softened Truss Model for Reinforced Concrete / ACI Struct. Journ. 1996. V. 93, №2, March–April, p. 197–207.
6. Vecchio F.J., Collins M.P. The Modified Compression Field Theory for Reinforced Concrete Elements Subjected to Shear / ACU. 1986. V. 83, №2, March– April., p. 219–231.
7. Горев вв., Филиппов вв., Тезиков Н.Ю. Математическое моделирование при расчетах и исследованиях строительных конструкций. М.: Высшая школа, 202–206 с.
8. Рак Н.А., Щербак С.Б. Методика расчета прочности многопустотных плит при действии местной нагрузки в узлах беспетлевой строповки / Вестник БГТУ. Строительство и архитектура. Приложение (Материалы XI Междунар. науч.-метод. межвуз. семинара “Перспективы развития новых технологий в строительстве и подготовке инженерных кадров Республики Беларусь”), часть 1, 2004. С. 141–144.
9. Рак Н.А. Влияние пластин закладных деталей на напряженно-деформированное состояние бетона при местном сжатии / Вестник БГТУ. Строительство и архитектура. Приложение (Материалы XI Междунар. науч.-метод. межвуз. семинара “Перспективы развития новых технологий в строительстве и подготовке инженерных кадров Республики Беларусь”), часть 1, 2004. С. 97–103.
10. Бугаев А.Н., Шепелевич Н.И. Экспериментально-теоретические исследования прочности и трещиностойкости железобетонных полушпал и разработка методики их расчета / Вестник БГТУ. Строительство и архитектура. Приложение (Материалы XI Междунар. науч.-метод. межвуз. семинара “Перспективы развития новых технологий в строительстве и подготовке инженерных кадров Республики Беларусь”), часть 1, 2004. С. 5–11.
11. Писаренко г.С., Лебедев А.А. Деформирование и прочность материалов при сложном напряженном состоянии. Киев: Наукова думка, 1976. 415.